1a4cc873d9
BUG: Formula used (d - sqrt_rho*z) but correct is (d + sqrt_rho*z) - Our thresholds are cumulative ascending (AAA→CCC→D) - Higher Z should push probability mass left (better ratings) - Previous: Z+ = higher PD = bad economy (WRONG) - Fixed: Z+ = lower PD = good economy (matches paper) Verification: - 1998 IMF crisis: Zt=-2.12 (negative = bad ✅) - 2006 boom: Zt=+1.53 (positive = good ✅) - Pipeline 8/8 validation pass
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8.0 KiB
Python
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8.0 KiB
Python
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Belkin & Suchower (1998) 신용사이클 인덱스 Zt 추정 모듈
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핵심 방법론:
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X_i = √ρ · Z + √(1-ρ) · Y_i
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여기서:
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X_i: 차입자 i의 신용도 변화 (표준정규)
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Z: 체계적 요인 (credit cycle index, 표준정규)
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Y_i: 개별적 요인 (표준정규, Z와 독립)
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ρ: 자산상관계수
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TTC 전이행렬의 누적확률 임계값을 Φ⁻¹로 변환한 후,
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관측 연도별 전이행렬과 모델 전이행렬 사이의 WLS를 최소화하여 Zt 추정.
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참고문헌:
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- Belkin, B., Suchower, S., & Forest, L.R. (1998).
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"A One-Parameter Representation of Credit Risk and Transition Matrices"
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- Basel Committee on Banking Supervision (2005).
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"An Explanatory Note on the Basel II IRB Risk Weight Functions"
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import numpy as np
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from scipy.stats import norm
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from scipy.optimize import minimize_scalar, minimize
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from typing import Dict, Tuple, Optional
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import logging
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logger = logging.getLogger(__name__)
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def compute_thresholds(ttc_matrix: np.ndarray) -> np.ndarray:
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TTC 전이행렬에서 등급 경계 임계값(thresholds) 산출
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각 시작등급 i에 대해, 누적 전이확률의 역정규분포로 임계값 산출:
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d_{i,j} = Φ⁻¹(Σ_{k≤j} p̄_{i,k})
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Parameters
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ttc_matrix : np.ndarray
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N×N TTC 전이행렬 (행 합 = 1)
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Returns
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np.ndarray
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N×N 임계값 행렬 (마지막 열은 항상 +∞)
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n = ttc_matrix.shape[0]
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thresholds = np.full((n, n), np.inf)
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for i in range(n):
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cum_prob = 0.0
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for j in range(n - 1):
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cum_prob += ttc_matrix[i, j]
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# 누적확률을 [1e-10, 1-1e-10] 범위로 클리핑 (Φ⁻¹ 발산 방지)
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cum_prob_clipped = np.clip(cum_prob, 1e-10, 1.0 - 1e-10)
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thresholds[i, j] = norm.ppf(cum_prob_clipped)
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return thresholds
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def model_transition_prob(
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thresholds: np.ndarray,
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z: float,
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rho: float,
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i: int,
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j: int
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) -> float:
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Z 조건부 전이확률 계산
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p_{ij}(Z) = Φ((d_{i,j} - √ρ·Z) / √(1-ρ)) - Φ((d_{i,j-1} - √ρ·Z) / √(1-ρ))
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Parameters
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thresholds : np.ndarray - 임계값 행렬
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z : float - 신용사이클 인덱스
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rho : float - 자산상관계수
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i : int - 시작 등급 인덱스
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j : int - 목표 등급 인덱스
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Returns
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-------
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float : 조건부 전이확률
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sqrt_rho = np.sqrt(rho)
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sqrt_1_rho = np.sqrt(1.0 - rho)
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# 상한 임계값
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# 논문: P(j|Z) = Φ((d_upper + √ρ·Z)/√(1-ρ)) - Φ((d_lower + √ρ·Z)/√(1-ρ))
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# Z>0 (호황) → 누적확률 증가 → 상위등급 확률↑, 부도확률↓
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d_upper = thresholds[i, j]
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upper = norm.cdf((d_upper + sqrt_rho * z) / sqrt_1_rho)
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# 하한 임계값 (j=0이면 -∞)
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if j == 0:
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lower = 0.0
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else:
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d_lower = thresholds[i, j - 1]
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lower = norm.cdf((d_lower + sqrt_rho * z) / sqrt_1_rho)
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return max(upper - lower, 0.0)
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def model_transition_matrix(
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thresholds: np.ndarray,
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z: float,
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rho: float
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) -> np.ndarray:
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"""
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Z 조건부 전체 전이행렬 산출
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n = thresholds.shape[0]
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tm = np.zeros((n, n))
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for i in range(n - 1): # D행은 흡수상태
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for j in range(n):
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tm[i, j] = model_transition_prob(thresholds, z, rho, i, j)
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# 행 합 정규화 (수치오차 보정)
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row_sum = tm[i].sum()
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if row_sum > 0:
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tm[i] /= row_sum
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# D행: 흡수상태
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tm[-1, -1] = 1.0
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return tm
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def zt_objective(
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z: float,
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observed_tm: np.ndarray,
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thresholds: np.ndarray,
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rho: float,
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weights: Optional[np.ndarray] = None
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) -> float:
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"""
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Zt 추정을 위한 WLS 목적함수
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minimize_Z Σ_{i,j} w_{ij} * (p_{ij}^{obs} - p_{ij}^{model}(Z))²
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Parameters
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z : float - 신용사이클 인덱스 후보값
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observed_tm : np.ndarray - 관측된 전이행렬
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thresholds : np.ndarray - TTC 임계값
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rho : float - 자산상관계수
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weights : np.ndarray - 가중치 행렬 (기본: 부도열에 높은 가중치)
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"""
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n = observed_tm.shape[0]
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if weights is None:
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# 가중치: 부도열(D)에 10배 가중, 대각에 5배, 나머지 1배
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weights = np.ones((n, n))
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weights[:, -1] = 10.0 # 부도 전이확률에 높은 가중
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for i in range(n):
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weights[i, i] = 5.0 # 잔류 확률에도 가중
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wss = 0.0
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for i in range(n - 1): # D행 제외
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for j in range(n):
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p_obs = observed_tm[i, j]
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p_model = model_transition_prob(thresholds, z, rho, i, j)
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wss += weights[i, j] * (p_obs - p_model) ** 2
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return wss
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def estimate_zt(
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observed_tm: np.ndarray,
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thresholds: np.ndarray,
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rho: float,
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z_bounds: Tuple[float, float] = (-4.0, 4.0)
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||
) -> float:
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"""
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단일 연도의 Zt 추정
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scipy.optimize.minimize_scalar로 WLS 목적함수 최소화
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Parameters
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observed_tm : np.ndarray - 해당 연도 관측 전이행렬
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thresholds : np.ndarray - TTC 임계값
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rho : float - 자산상관계수
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z_bounds : tuple - Z 탐색 범위
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Returns
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-------
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float : 추정된 Zt 값
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"""
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result = minimize_scalar(
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zt_objective,
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bounds=z_bounds,
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method="bounded",
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args=(observed_tm, thresholds, rho)
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)
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return result.x
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def estimate_zt_series(
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transition_matrices: Dict[int, np.ndarray],
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ttc_matrix: np.ndarray,
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rho: float = 0.20
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) -> Dict[int, float]:
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"""
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전체 기간에 대한 Zt 시계열 추정
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Parameters
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transition_matrices : Dict[int, np.ndarray]
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연도별 관측 전이행렬
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ttc_matrix : np.ndarray
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TTC 전이행렬
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rho : float
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자산상관계수
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Returns
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-------
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Dict[int, float]
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{연도: Zt값} 딕셔너리
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"""
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logger.info("TTC 전이행렬에서 임계값 산출 중...")
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thresholds = compute_thresholds(ttc_matrix)
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zt_series = {}
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years = sorted(transition_matrices.keys())
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logger.info(f"Zt 시계열 추정 중 ({years[0]}-{years[-1]}, rho={rho})...")
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for year in years:
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observed_tm = transition_matrices[year]
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z_hat = estimate_zt(observed_tm, thresholds, rho)
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zt_series[year] = z_hat
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logger.debug(f" {year}: Zt = {z_hat:+.4f}")
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logger.info(f"Zt 추정 완료. 범위: [{min(zt_series.values()):.3f}, {max(zt_series.values()):.3f}]")
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return zt_series
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def estimate_rho_and_zt(
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transition_matrices: Dict[int, np.ndarray],
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ttc_matrix: np.ndarray,
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rho_bounds: Tuple[float, float] = (0.05, 0.50)
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||
) -> Tuple[float, Dict[int, float]]:
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"""
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자산상관계수 ρ와 Zt 시계열 동시 추정 (NLS)
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총 목적함수 = Σ_t Σ_{i,j} w_{ij} * (p_{ij,t}^{obs} - p_{ij,t}^{model}(Z_t(ρ), ρ))²
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외부 루프: ρ 탐색
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내부 루프: 각 연도별 Zt 추정 (ρ 고정)
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Returns
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-------
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Tuple[float, Dict[int, float]]
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(최적 ρ, Zt 시계열)
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"""
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years = sorted(transition_matrices.keys())
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def total_objective(rho):
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thresholds = compute_thresholds(ttc_matrix)
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total_wss = 0.0
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for year in years:
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observed_tm = transition_matrices[year]
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||
z_hat = estimate_zt(observed_tm, thresholds, rho)
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||
total_wss += zt_objective(z_hat, observed_tm, thresholds, rho)
|
||
return total_wss
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||
logger.info(f"ρ 동시 추정 중 (범위: {rho_bounds})...")
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result = minimize_scalar(total_objective, bounds=rho_bounds, method="bounded")
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||
optimal_rho = result.x
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||
logger.info(f"최적 ρ = {optimal_rho:.4f}")
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# 최적 ρ로 Zt 재추정
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zt_series = estimate_zt_series(transition_matrices, ttc_matrix, optimal_rho)
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||
return optimal_rho, zt_series
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